Historia

George Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos.
El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la más célebre la paradoja de Russell, y más tarde varios matemáticos encontraron más paradojas, incluyendo al mismo Cantor. Russell descubrió su paradoja en 1901, y la publicó en un apéndice de su libro "Principios de las matemáticas".

Cuando los matemáticos supieron de esta paradoja, muchos se preguntaron si las matemáticas en realidad eran consistentes, y sobre todo verdaderas, ya que cualquier suposición matemática podía basarse en una teoría inconsistente.

La primera propuesta para solucionar el problema de las paradojas provino de un matemático holandés llamado Brouwer, quien propuso una redefinición radical de todas las matemáticas y prometió una solución al conflicto. El programa de Brouwer se basaba en lo más simple de la intuición: el aceptaba los conceptos que son aparentes a la intuición general. Esta filosofía rechazaba muchos principios fundamentales de las matemáticas, pero en cambio, solucionaba satisfactoriamente el problema de las paradojas. Particularmente Brouwer rechazaba el principio del medio excluido, el cuál decía que los elementos de un conjunto o bien tienen una propiedad A o no la tienen, lo cuál sería la negación de la propiedad A. A esta corriente de pensamiento se le llamó intuicionismo

Por otro lado, David Hilbert se opuso al intuicionismo y aunque no toleraba las paradojas, no estaba dispuesto a ver las matemáticas mutiladas. En 1904 propuso la teoría de la prueba, la cuál era una teoría de la lógica independiente del contexto y podría ser aplicada a las matemáticas sin encontrar paradojas. Russell a su vez desarrolló su teoría de los tipos para evitar las paradojas. El proponía que los enunciados se acomodaran jerárquicamente. Russell publicó sus resultados en 1908 con la colaboración de Alfred North Whitehead.
La cuarta respuesta a la paradoja fue de Ernst Zermelo en 1908 con la axiomatización de la teoría de conjuntos.

La mejor prueba de que la teoría de conjuntos no ha logrado unificar a las matemáticas es que éstas se han ramificado en áreas muy diferenciadas, como la aritmética, el álgebra, la trigonometría y geometría; también se han separados distintos campos como el cálculo, la topología, la teoría de conjuntos, la teoría de los números y la estadística.

Conjuntos.

Que es conjunto ?

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc

De manera inmediata, un conjunto es una colección de objetos

Habitualmente usaremos las letras A, B, C, ... para representar conjuntos y letras minúsculas, como a, b, c, ... para representar los elementos u objetos que pertenecen o forman parte de esos conjuntos.

Si un objeto a pertenece a un conjunto A, expresaremos ´este hecho con la notación:

a ∈ A

Si a no pertenece al un conjunto A, expresaremos ´esta situación como:

a ∉ B

.

El símbolo de igualdad “=” para nosotros va significar identidad lógica. De modo que cuando escribimos a = b estamos queriendo decir que a y b son símbolos para el mismo objeto. Podemos concluir que dos conjuntos son iguales si están formados precisamente por los mismos elementos.

A = B

A ≠ B

Diremos que A es subconjunto de B, si cada elemento de A es también un elemento de B y expresamos este hecho escribiendo: 

A ⊂ B 

La relación simbolizada por “⊂” se denomina inclusión. Si A ⊂ B, también podemos escribir B ⊃ A y se lee “B contiene a A”

Si A es subconjunto de B y además son conjuntos diferentes, diremos que A es un subconjunto propio de B y escribiremos:

A ⊊ B

La intersección de Conjuntos.

Definición:

Dados dos conjuntos A y B, su intersección es otro subconjunto cuyos elementos, necesariamente, pertenecen a los dos conjuntos A y B:

La intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∩ B cuyos elementos son los elementos comunes aA y B :

  Propiedades:

 Idempotencia La intersección de un conjunto 

La intersección de 

La intersección de un conjunto B con un conjunto A que lo contenga, deja a B inalterado:

La Unión de Conjuntos.

La unión de conjuntos es correspondiente la unificación de los elementos de dos conjuntos o incluso más conjuntos, que pueden partiendo de esto conformar una nueva forma de conjunto, en la cual los elementos dentro de este correspondan a los elementos de los conjuntos originales. Cuando un elemento es repetido, forma parte del conjunto unión una vez solamente

Propiedades:

Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera

• A ∪ A = A (propiedad idempotente) En álgebra de conjuntos, las operaciones de unión y también de intersección de conjuntos cumplen con esta propiedad. Esto quiere decir que la unión o intersección de un conjunto con el mismo, resultará en el mismo conjunto.

• A ∪ B = B ∪ A (propiedad conmutativa). Si se cambia el orden de los conjuntos, el conjunto unión no se altera.

• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (propiedad asociativa).

• (B ∩ C) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A) (propiedad distributiva respecto de la intersección).

• A ∪ (A ∩ B) = A = A ∩ (A ∪ B) (ley de absorción).

La Diferencia de Conjuntos.

La diferencia entre dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos aquellos en el primero de los conjuntos iniciales que no estén en el segundo.

 Propiedades:

  La diferencia entre dos conjuntos es el conjunto vacío si y sólo si el primero es un subconjunto   del segundo:

La diferencia entre dos conjuntos es igual al primer conjunto si y sólo si ambos conjuntos son disjuntos:

La intersección de un conjunto B con un conjunto A que lo contenga, deja a B inalterado:

Producto Cartesiano.

El producto cartesiano revela una relación de orden entre dos conjuntos, constituyéndose como un tercer conjunto.

El producto cartesiano de un conjunto A y de un conjunto B es el conjunto constituido por la totalidad de los pares ordenados que tienen un primer componente en A y un segundo componente en B.

Ejemplo.1:

Si el conjunto A está formado por los elementos 3, 5, 7 y 9, mientras que el conjunto B alberga los elementos m y r, el producto cartesiano de ambos conjuntos es el siguiente:

A x B = {(3,m), (3,r), (5, m), (5,r), (7,m), (7,r), (9,r), (9,r)}

Ejemplo.2:

Diagrama de Venn.

Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoria de conjuntos, tema de interés en matemáticas, lógica de clases y razonamiento diagramatico. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.

Los diagramas de Venn fueron ideados hacia 1880 por John Venn.

La intersección:

Dado que los conjuntos pueden tener elementos comunes, las regiones encerradas por sus líneas límite se superponen. El conjunto de los elementos que pertenecen simultáneamente a otros dos es la intersección de ambos

 A ∩ B

 A={1,3,4,2,5} B={6,7,5}

 A ∩ B={5}

Inclusión:

Si todos los elementos de un conjunto son parte de los elementos de otro, se dice que el primero es un subconjunto del segundo o que está incluido en el segundo. En los diagramas de Venn, todas las regiones de superposición posibles deben ser representadas.  

Conjuntos formados por los elementos que pertinecen por lo menos a uno de dos conjuntos.

AU B

 A={1,3,4,2,5} B={6,7,5}

A  U B={1,2,3,4,5,6,7}

Diferencia:

 Conjurnto formado por los elementos del primer conjunto que no pertenezcan a un segundo conjunto

A-B

 A={1,3,4,2,5} B={6,7,5}

A-B={1,2,3,4,5}